人们一谈到早期的无穷小分割和极限思想，往往想到古希腊的穷竭法。实际上，穷竭法并没有使用极限。在文艺复兴之前，在数学中真正使用过极限思想的是中国的刘徽。极限思想在中国萌芽很早。先秦名家有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的命题，墨家也有无限分割一尺之杆的方法，不过认为不会万世不竭，而最终归结为不可再分的“端”。汉司马迁《史记·酷吏列传》有“破觚为園〔同圆〕”的说法，直观地描述了多边形通过无限分割与圆的转化关系。而刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。

对《九章算术》的圆面积公式S=½Lr，在刘徽之前是以周三径一为基础，将圆内接正6边形周长作为圆周长，正12边形面积作为圆面积，用出入相补原理证明的。刘徽指出，圆的周长与直径“非周三径一之率”(《九章算术·方田章注》)，这个证明是不严格的。刘徽创造了新的方法：他从圆内接正6边形开始割圆，得到一个正6·2n边形序列。设Sn是6·2n边形面积，pn是每边长，如图35。

图35 割圆术

显然，n愈大，S-Sn愈小，所谓“割之弥细，所失弥少。”(同上)而“割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”(同上)即证明了L=limn→∞6·2nPn。6·2n边形每边与圆周间有余径rn。以边长乘余径，加到6·2n-1边形面积上，则大于圆面积，即Sn

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