要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空

间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它

压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都

没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里

“长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再

“长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还

是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体

没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。

虽说拓扑学可以研究非常一般的“拓扑空间”，但拓扑学家最关心的还是流形

的拓扑。“流形”(manifold)的概念最早是在1854年由 Riemann 提出的(德文

Mannigfaltigkeit)，现代使用的流形定义则是由 Hermann Weyl 在1913年给出的。

江泽涵先生对这个名词的翻译出自文天祥《正气歌》，日本人则将之译为“多样体”，

二者孰雅孰鄙，高下立判。

流形定义为满足Hausdorff公理(这里不作介绍了)的拓扑空间，每个点的局部都

同胚于n维空间 R^n. 按定义，R^n 本身就是一个流形；圆周是流形，每点的局部都

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