早在20世纪数学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德和波特兰·拉塞尔就发表了他们的开创性工作——《Principia Mathematica》（数学原理），这本书试图确定一些公理，让它们作为所有数学的基础。26然而，他们最后没能证明可以生成自然数（正整数或自然数）的公理系统不会引起矛盾。据推断，这种证明迟早会被找到，但在20世纪30年代，年轻的捷克数学家库尔特·哥德尔证明了在这样的一个系统中必然存在一些命题，他们既不是真命题也不是假命题，他通过这个证明震惊了整个数学界。后来发现，这些不可证明的命题就像可被证明的命题一样常见。哥德尔的不完全性定理从根本上表明逻辑、数学甚至计算的能力是有限的，这个定理被称为数学中最重要的定理，它的含义仍在争论中。27

艾伦·图灵在理解计算的性质时得到了类似的结论。1936年，图灵提出了图灵机（详见第2章），并报告了一个意外的类似哥德尔的发现28。图灵机作为计算机的一个理论模型发展至今，并形成了现代计算理论的基础。图灵在当年的论文中描述了无法解决的问题的概念，那就是存在这样的问题：它有明确的定义和唯一的答案，但我们不能通过图灵机计算。

事实上，存在一些不能用这个特定理论机器来解决的问题可能不会特别令人吃惊，直到考虑图灵论文的其他结论：图灵机可以模拟任何计算过程。图灵表明，不能解决的问题和能解决的问题一样多，每种问题的数量是无穷的最低值，所谓的可数无穷大（可以计算整数的数量）。图灵还论证了，在任何一个系统，判断任何逻辑命题的真伪都很困难，哪怕这个系统的逻辑强大到能描述自然数就是无解问题之一，这个结论类似哥德尔。（换句话说，任何程序都无法保证回答所有命题的问题。）

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